Mi concentrerò poi su un lavoro recente svolto in collaborazione con Adam Parusiński riguardante il problema di estensione di Whitney in ambito semialgebrico. Questo problema chiede se una funzione semialgebrica, definita su un sottoinsieme chiuso semialgebrico di $\mathbb R^n$ e prolungabile a una funzione $C^m$ su $\mathbb R^n$, possa essere estesa anche a una funzione $C^m$ semialgebrica su
$\mathbb R^n$.
Presenterò una soluzione alla versione $C^{1,1}$ di questo problema, dimostrando l’esistenza di selezioni lipschitziane semialgebriche per certe applicazioni a valori in insiemi affini. Il metodo va oltre la categoria semialgebrica: i risultati valgono in qualsiasi espansione o-minimale del campo reale, e anche per funzioni $C^{1,\omega}$, dove $\omega$ è un modulo di continuità definibile nella struttura fissata.
Se il tempo lo permetterà, discuterò anche alcuni risultati recenti sulle funzioni analitiche reali e lisce definite su domini chiusi subanalitici, che rivelano una relazione sorprendente tra le proprietà analitiche delle funzioni e le caratteristiche geometriche dei domini su cui sono definite.